Equazioni di Maxwell

La teoria del magnetismo è stata a lungo priva di un'esatta descrizione matematica. Solo nel 1864 James Clerk Maxwell fornì una spiegazione completa dei fenomeni in senso fisico. Le quattro equazioni di Maxwell da lui scoperte costituiscono ancora oggi la base dell'elettrodinamica. In sostanza, le equazioni di Maxwell descrivono l'ampiezza dei campi elettrici e magnetici e quindi anche delle forze corrispondenti in presenza di determinate distribuzioni di carica o di corrente. Maxwell riconobbe che i fenomeni elettrici e magnetici non sono indipendenti l'uno dall'altro. Ad esempio, un campo elettrico in movimento genera anche campi magnetici. Per saperne di più sulla storia dei magneti, consultate la nostra guida.

In un'onda elettromagnetica, i campi elettrici e magnetici variabili nel tempo si influenzano a vicenda. L'estensione delle equazioni di Maxwell nel vuoto alle equazioni di Maxwell nella materia tiene conto anche dei fenomeni di polarizzazione elettrica e magnetizzazione e può quindi descrivere anche la propagazione dei campi elettrici e magnetici nella materia.

Notazione

Nelle equazioni di Maxwell viene utilizzato un operatore matematico differenziale, noto anche come "nabla". Il suo simbolo è un triangolo che sta su un punto:

\( \vec{\nabla}=\left(\begin{array}{c} \partial/\partial{x} & & \partial/\partial{y} & & \partial/\partial{z} \end{array}\right) \),

dove \(\partial/\partial{x}\) è la derivata parziale in funzione della variabile x.

Ciò significata che la parte delle "linee di campo" che fuoriescono da un punto", ad esempio il campo elettrico \(\vec{E}\) viene descritta con l'aiuto della cosiddetta divergenza di campo (\(\nabla\cdot\vec{E}\)). D'altra parte, sono possibili anelli chiusi di linee di campo, i cosiddetti vortici. Questi sono descritti con l'aiuto del rotore (\(\nabla\times\vec{E}\)).

Le quattro equazioni di Maxwell indipendenti dal tempo e i loro enunciati

Le equazioni di Maxwell, indipendenti dal tempo, descrivono l'andamento dei campi elettrici (\(\vec{E}\)) e della densità di flusso magnetico (\(\vec{B}\)) nel vuoto o rispettivamente nello spazio per cariche statiche ρ e correnti \(\vec{j}\):

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}\)
ε₀ indica la costante dielettrica del vuoto e μ₀ la permeabilità magnetica del vuoto.

In concreto, gli enunciati di queste equazioni possono essere pensati come segue:

1) Le linee di campo fuoriescono dalle cariche. Le cariche sono quindi sorgenti (cariche positive) o pozzi (cariche negative) del campo elettrico. Queste sorgenti di campo sono caratterizzate dalla divergenza. L'intensità del campo elettrico causato da una carica è proporzionale alla carica stessa.

2) Tuttavia, il campo elettrico non presenta circuitazioni nello stato di riposo. Le circuitazioni vengono calcolate utilizzando il rotore descritto in precedenza.

3) La densità di flusso magnetico, invece, non ha sorgenti. Non esistono "monopoli magnetici", cioè nessun oggetto fisico da cui le linee di campo magnetico possano semplicemente fuoriuscire.

4) Le correnti causano invece circuitazioni nella densità di flusso magnetico e quindi anche nel campo magnetico. L'intensità del campo magnetico è proporzionale alla corrente racchiusa.

Le quattro equazioni di Maxwell dipendenti dal tempo

Le equazioni di Maxwell dipendenti dal tempo tengono conto dei campi elettrici e magnetici variabili nel tempo, oltre che dei fenomeni sopra citati. La variazione temporale di un campo è caratterizzata da un punto. Simboleggia la derivata rispetto al tempo. Nel caso del campo elettrico, \(\dot{\vec{E}}=\frac{d}{dt}\vec{E}\) indica quindi la variazione del campo elettrico nel tempo. Si ottengono così le equazioni di Maxwell dipendenti dal tempo nel vuoto:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}+\frac1{c^2}\dot{\vec{E}}\)
Secondo l'equazione 2), una densità di flusso magnetico variabile nel tempo provoca rotazioni aggiuntive nel campo elettrico. Un campo elettrico variabile nel tempo (equazione 4) provoca a sua volta rotazioni aggiuntive nel campo magnetico. Le equazioni 2) e 4) possono essere utilizzate per determinare il comportamento delle onde elettromagnetiche, ad esempio. La grandezza c è la velocità della luce, legata alle costanti ε₀ e μ₀ come segue:

\(\epsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\).

L'introduzione di parametri specifici del materiale è necessaria per descrivere la propagazione dei campi elettrici e magnetici nella materia. Nella materia, i campi elettrici causano la polarizzazione elettrica e i campi magnetici la magnetizzazione. Le equazioni di Maxwell nella materia dipendenti dal tempo ne tengono conto come segue:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0-\nabla\cdot\frac{\vec{P}}{\epsilon_0}\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\frac{1}{c^2}\dot{\vec{E}}+\mu_0\dot{\vec{P}}+\mu_0\nabla\times\vec{M}+\mu_0\cdot\vec{j}\)
Secondo l'equazione 1), le sorgenti del campo elettrico non sono quindi solo le cariche reali ρ, ma anche la polarizzazione \(\vec{P}\). La polarizzazione dipende dalla dielettricità (polarizzabilità) specifica del materiale.

Secondo l'equazione 4), la circuitazione del campo di induzione magnetica è causata dalle correnti \(\vec{j}\), dai campi elettrici variabili nel tempo (comprese le polarizzazioni) e dalle magnetizzazioni \(\vec{M}\). Poiché la magnetizzazione dipende dalla costante di permeabilità magnetica specifica del materiale μ, \(\vec{M}\) è un'informazione della quarta equazione di Maxwell, che indica come il materiale può essere magnetizzato in campi esterni e influenza la densità di flusso magnetico.