Maxwellvergelijkingen

De theorie van het magnetisme ontbeerde lange tijd een exacte wiskundige beschrijving. Een volledige verklaring van de verschijnselen in natuurkundige zin werd pas in 1864 door James Clerk Maxwell gegeven. De door hem gevonden vier Maxwellvergelijkingen vormen tot op de dag van vandaag de basis van de elektrodynamica. In wezen beschrijven de Maxwellvergelijkingen hoe groot de elektrische en magnetische velden en daarmee ook de overeenkomstige krachten zijn, wanneer bepaalde ladings- of stroomverdelingen aanwezig zijn. Daarbij ontdekte Maxwell dat elektrische en magnetische fenomenen niet onafhankelijk van elkaar zijn. Zo zenden bewegende elektrische velden ook magnetische velden uit. Meer over de geschiedenis van magneten vindt u in onze raadgever.

In een elektromagnetische golf beïnvloeden tijdsvariabele elektrische en magnetische velden elkaar wederzijds. De uitbreiding van de Maxwellvergelijkingen van het vacuüm naar de Maxwellvergelijkingen in materie houdt bovendien rekenschap met verschijnselen van elektrische polarisatie en magnetisering en kan zodoende ook de voortplanting van elektrische en magnetische velden in materie beschrijven.

Notatie

In de Maxwellvergelijkingen wordt een wiskundige differentiaaloperator gebruikt, die ook wel als "afgeleide vector" wordt aangeduid. Het symbool hiervoor is een driehoek, die op een punt staat:

\( \vec{\nabla}=\left(\begin{array}{c} \partial/\partial{x} & & \partial/\partial{y} & & \partial/\partial{z} \end{array}\right) \),

waarbij \(\partial/\partial{x}\) de partiële differentiatie naar de variabele x aanduidt.

Daartoe wordt het aandeel van "veldlijnen lijnen van een veld die van een punt uitgaan", bijvoorbeeld van het elektrische veld \(\vec{E}\) met behulp van de zogenaamde divergentie van een veld (\(\nabla\cdot\vec{E}\)) beschreven. Anderzijds zijn gesloten lussen uit veldlijnen mogelijk, zogenaamde wervelingen. Deze worden met behulp van de rotatie (\(\nabla\times\vec{E}\)) gekarakteriseerd.

De vier tijdonafhankelijke maxwellvergelijkingen en hun uitspraken

De tijdonafhankelijke maxwellvergelijkingen beschrijven het verloop van de elektrische velden (\(\vec{E}\)) en de magnetische fluxdichtheid (\(\vec{B}\)) bij gegeven statische ladingen ρ en stromen \(\vec{j}\) in vacuüm of bij benadering in de lucht:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} = \mu_0\cdot\vec{j}\)
ε₀ is de diëlektrische constante van vacuüm en μ₀ de magnetische permeabiliteit van vacuüm.

Concreet kunnen de uitspraken van deze vergelijkingen als volgt worden gedacht:

1) Vanuit ladingen lopen veldlijnen. Ladingen zijn dus de bronnen (positieve ladingen) of zinkputten (negatieve ladingen) van het elektrische veld. Deze veldbronnen worden gekenmerkt door de divergentie. De sterkte van het elektrische veld, veroorzaakt door een lading, is evenredig aan de lading.

2) Het elektrische veld heeft in rust echter geen wervelingen. De wervelingen worden berekend via de hierboven genoemde rotatie.

3) De magnetische fluxdichtheid daarentegen heeft geen bronnen. Er zijn geen "magnetische monopolen", dus geen fysiek object waaruit alleen maar magnetische veldlijnen vloeien.

4) In plaats daarvan veroorzaken stromen wervelingen van de magnetische fluxdichtheid en daarmee ook het magnetisch veld. De sterkte van het magnetisch veld is daarbij evenredig aan de ingesloten stroom.

De vier tijdsafhankelijke Maxwellvergelijkingen

De tijdsafhankelijke Maxwellvergelijkingen houden naast de genoemde verschijnselen ook rekening met in de tijd veranderlijke elektrische en magnetische velden. De tijdsafhankelijke verandering van een veld wordt gekenmerkt door een punt. Deze symboliseert de afgeleide met betrekking tot de tijd. Bij het elektrische veld betekent \(\dot{\vec{E}}=\frac{d}{dt}\vec{E}\) dus de tijdsafhankelijke verandering van het elektrische veld. Zo luiden de tijdsafhankelijke Maxwellvergelijkingen in vacuüm:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}+\frac1{c^2}\dot{\vec{E}}\)
Volgens vergelijking 2) veroorzaakt een tijdsveranderlijke magnetische fluxdichtheid dus extra wervels in het elektrische veld. Een tijdsveranderlijk elektrisch veld (vergelijking 4) veroorzaakt op zijn beurt extra wervels in het magnetische veld. Met behulp van vergelijkingen 2) en 4) kan bijvoorbeeld het gedrag van elektromagnetische golven worden bepaald. De grootheid c is de lichtsnelheid, die als volgt is gekoppeld aan de constanten ε₀ en μ₀:

\(\epsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\).

De introductie van materiaalspecifieke parameters is noodzakelijk voor een beschrijving van de voortplanting van elektrische en magnetische velden in materie. In materie leiden elektrische velden tot elektrische polarisatie en magnetische velden tot magnetisering. De tijdsafhankelijke Maxwellvergelijkingen in materie houden hier als volgt rekening mee:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0-\nabla\cdot\frac{\vec{P}}{\epsilon_0}\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\frac{1}{c^2}\dot{\vec{E}}+\mu_0\dot{\vec{P}}+\mu_0\nabla\times\vec{M}+\mu_0\cdot\vec{j}\)
Bronnen van het elektrische veld zijn volgens vergelijking 1) dus niet alleen echte ladingen ρ, maar ook de polarisatie \(\vec{P}\). De polarisatie is daarbij afhankelijk van de materiaalspecifieke diëlektriciteit (polariseerbaarheid).

De wervels van de magnetische fluxdichtheid worden volgens vergelijking 4) veroorzaakt door stromen \(\vec{j}\), tijdsveranderlijke elektrische velden (inclusief polarisaties) en door magnetiseringen \(\vec{M}\). Omdat de magnetisering afhangt van de materiaalspecifieke magnetische permeabiliteitsconstante μ, bevat de vierde Maxwellvergelijking informatie over \(\vec{M}\), die zegt hoe het materiaal zich in externe velden laat magnetiseren en de magnetische fluxdichtheid beïnvloedt.