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Come si calcola la densità di flusso magnetico?

La densità di flusso magnetico si chiama anche "campo B" o "induzione magnetica". Il campo B dei nostri Supermagneti sull'asse polo nord-polo sud può essere calcolato con le formule qui indicate. Inoltre mettiamo a disposizione delle tabelle (Excel / OpenOffice) con cui calcolare automaticamente la densità di flusso magnetico. Il calcolo dei campi B nello spazio è invece molto più complesso e richiede l'uso di software.
Indice
La densità di flusso magnetico viene detta anche induzione magnetica oppure campo B. Viene indicata con le unità di misura Tesla (unità di misura del SI) oppure Gauss (10 000 Gauss = 1 Tesla).
Una magnete permanente genera al suo interno e nello spazio circostante un campo B. Ad ogni punto all'interno e all'esterno del magnete può essere associata un'intensità di campo B con una determinata direzione. Se si posiziona l'ago di una bussola nel campo B di un magnete, questo si muove nella direzione del campo magnetico. La forza con cui si muove è proporzionale all'intensità del campo B.
Non esistono formule semplici per calcolare il campo magnetico generato da un magnete di qualsiasi forma. A questo scopo sono stati sviluppati degli speciali software (vedi sotto). Per geometrie simmetriche meno complesse, tuttavia, esistono delle semplici formule che calcolano il campo B su un asse di simmetria in direzione dei poli nord e sud. Troverete queste formule di seguito.

Formula per densità di flusso parallelepipedo magnetico

Formula per il campo B sull'asse di simmetria di un parallelepipedo o di un cubo magnetico magnetizzato assialmente:
\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{\pi}\left[arctan\bigg(\frac{LW}{2z\sqrt{4z^2+L^2+W^2}}\bigg)- arctan\bigg(\frac{LW}{2(D+z)\sqrt{4(D+z)^2+L^2+W^2}}\bigg)\right]\end{aligned}\)
Br: campo di rimanenza, indipendente dalla geometria del magnete (vedi proprietà fisiche dei magneti)
z: distanza sull'asse di simmetria da una superficie polare
L: lunghezza del parallelepipedo
W: larghezza del parallelepipedo
D: spessore (oppure altezza) del parallelepipedo
L'unità di misura della lunghezza può essere scelta a piacere, purché sia la stessa per tutte le lunghezze.

Formula per densità di flusso cilindro magnetico

Formula per il campo B sull'asse di simmetria di un cilindro magnetico magnetizzato assialmente (disco oppure cilindro):
\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{2}\left(\frac{D+z}{\sqrt{R^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\end{aligned}\)
Br: campo di rimanenza, indipendente dalla geometria del magnete (vedi proprietà fisiche dei magneti)
z: distanza sull'asse di simmetria da una superficie polare
D: spessore (oppure altezza) del cilindro
R: metà del diametro (raggio) del cilindro
L'unità di misura della lunghezza può essere scelta a piacere, purché sia la stessa per tutte le lunghezze.

Formula per la densità di flusso di un anello magnetico

Formula per il campo B sull'asse di simmetria di un anello magnetico magnetizzato assialmente:
\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{2}\left[\frac{D+z}{\sqrt{R_a^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R_a^2+z^2}}-\left(\frac{D+z}{\sqrt{R_i^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R_i^2+z^2}}\right)\right]\end{aligned}\)
Br: campo di rimanenza, indipendente dalla geometria del magnete (vedi proprietà fisiche dei magneti)
z: distanza sull'asse di simmetria da una superficie polare
D: spessore (oppure altezza) dell'anello
Ra: raggio esterno dell'anello
Ri: raggio interno dell'anello
L'unità di misura della lunghezza può essere scelta a piacere, purché sia la stessa per tutte le lunghezze.
La formula per gli anelli magnetici mostra che il campo B di un anello magnetico si calcola sottraendo al campo di un cilindro magnetico più grande con raggio Ra il campo di un cilindro magnetico più piccolo con raggio Ri.

Formula per densità di flusso sfera magnetica

Formula per il campo B sull'asse di simmetria di una sfera magnetica magnetizzata assialmente:
\(\begin{align}B &= B_r\frac{2}{3}\frac{R^3}{(R+z)^3}\end{aligned}\)

Br: campo di rimanenza, indipendente dalla geometria del magnete (vedi proprietà fisiche dei magneti)
z: distanza sull'asse di simmetria dal bordo della sfera
R: metà del diametro (raggio) della sfera
L'unità di misura della lunghezza può essere scelta a piacere, purché sia la stessa per tutte le lunghezze.

Tabella con le formule per il calcolo della densità di flusso

Con le formule indicate qui sopra è possibile calcolare comodamente la densità di flusso anche in una tabella. Inserite i dati relativi ai magneti nei campi evidenziati in giallo e la densità di flusso verrà calcolata automaticamente. Sono disponibili le seguenti versioni:


Fonte per le formule elencate qui sopra: Articolo su researchgate.net

Campi B nello spazio

Per calcolare i campi B al di fuori dell'asse di simmetria oppure i campi di magneti di qualsiasi forma esistono software speciali, in genere anche molto cari, in grado di calcolare i campi B e molto altro ancora.
Un software gratuito, che tuttavia si limita ai magneti simmetrici all'asse di rotazione, è FEMM ("Finite Element Method Magnetics").
Analogamente ad altri programmi, FEMM calcola e rappresenta graficamente soltanto una metà del magnete, in quanto i campi B sono simmetrici. Bisogna immaginarsi l'altra metà rispecchiata immediatamente a sinistra.
Campo B della metà di un magnete (disco magnetico) rappresentato con FEMM
Campo B della metà di un magnete (disco magnetico) rappresentato con FEMM